GRADO OCTAVO
"Cuando hables de Dios o de sus atributos, hazlo con toda seriedad y reverencia."
George Washington,
UNIDAD III
LA FACTORIZACIÓN.
6.2.1.1.1 Estándares:
Desarrolla técnicas para factorizar polinomios, en particular la diferencia de dos cuadrados, la suma y la diferencia de potencias impares,
6.2.1.1.2 Logro:
Identificar y aplicar los diferentes casos de factorización a polinomios factorizables y resolver situaciones problemas que involucren el uso de los casos de factorización.
6.2.1.1.3 Contenidos:
• Factor común.
• Factor común por agrupación de términos.
• Factorización de diferencia de cuadrados perfectos.
• Factorización de trinomios cuadrados perfectos.
• Factorización de trinomios de la forma x2+bx+c.
JORGE ALFREDO VELASQUEZ ALVIS
Profesor del área
“LA RESPONSABILIDAD ES UNA VIRTUD QUE TODO SER HUMANO DEBE DESARROLLAR POR SI MISMO”
https://www.youtube.com/watch?v=3Qh5MlFGx2g profe este es el vídeo y este es el de la teoría http://www.aulafacil.com/cursos/l10956/ciencia/matematicas/algebra/suma-o-diferencia-de-cubos-perfectos
https://www.youtube.com/watch?v=szbfTlvRD4k
https://www.youtube.com/watch?v=nxfw1ZJqzYA
En todos los trabajos falta la teoría y ejemplos
Caso I - Factor común
Sacar el factor común es añadir el literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes. Tambien se puede describir como buscar el factor comun entre los factores
a^2+a b = a (a+b)
9a^2-12ab+15a^3b^2-24ab^3=3a(3a-4b+5a^2b^2-8b^3)
Factor común trinomio
Factor común por agrupación de términos
ab + ac + ad = a ( b + c + d) \,
ax + bx + ay + by = a (x+y) + b (x+y) = (x+y)(a + b ) \, y si solo si el polinomio es 0 y el tetranomio nos da x.
Factor común polinomio
Primero hay que determinar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con un término, sino con dos.
un ejemplo:
5x^2(x-y) + 3x(x-y) +7(x-y) \,
Se aprecia claramente que se está repitiendo el polinomio (x-y), entonces ese será el factor común. El otro factor será simplemente lo que queda del polinomio original, es decir:
(5x^2 + 3x +7) \,
La respuesta es:
(5x^2+3x+7)(x-y) \,
En algunos casos se debe utilizar el número 1, por ejemplo:
5a^2(3a+b) +3a +b \,
Se puede utilizar como:
5a^2(3a+b) + 1(3a+b) \,
Entonces la respuesta es:
(3a+b) (5a^2+1) \,
https://www.youtube.com/watch?v=pkWYq43L_Es
Caso II - Factor común por agrupación de términos
Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos.
Un ejemplo numérico puede ser:
2y + 2j +3xy + 3xj\,
entonces puedes agruparlos de la siguiente manera:
= (2y+2j)+(3xy+3xj)\,
Aplicamos el caso I (Factor común)
= 2(y+j)+3x(y+j)\,
= (2+3x)(y+j)\,
Ejercicio # 2 del algebra am - bm + an - bn =(am-bm)+(an-bn) =M(a-b)+ n(a-b =(a-b)(m+n)
https://www.youtube.com/watch?v=Rhttf8bA3v8
Caso III - Trinomio Cuadrado Perfecto
Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces cuadradas exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces del primero por el segundo. Para solucionar un Trinomio Cuadrado Perfecto debemos reordenar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo que acompaña al segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado.
(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\,
(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2\,
Ejemplo 1:
(5x-3y)^2 = 25x^2-30xy+9y^2\,
Ejemplo 2:
(3x+2y)^2 = 9x^2+12xy+4y^2\,
Ejemplo 3:
(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2\,
Ejemplo 4:
4x^2+25y^2-20xy\,
Organizando los términos tenemos
4x^2 - 20xy + 25y^2\,
Extrayendo la raíz cuadrada del primer y último término y agrupándolos en un paréntesis separados por el signo del segundo término y elevando al cuadrado nos queda:
(2x - 5y)^2\,
Al verificar que el doble producto del primero por el segundo término es -20xy determinamos que es correcta la solución. De no ser así, esta solución no aplicaría.
https://www.youtube.com/watch?v=4bg8tJLVjrc
Caso IV - Diferencia de cuadrados
Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma (a-b)(a+b), uno negativo y otro positivo.
(ay-bx)(ay+bx)=
(ay)^2-(bx)^2
\,
O en una forma más general para exponentes pares:
(ay)^{2n}-(bx)^{2m}=
((ay)^n-(bx)^m)((ay)^n+(bx)^m)\,
Y utilizando una productoria podemos definir una factorización para cualquier exponente, el resultado nos da r+1 factores.
(ay)^n-(bx)^m=
((ay)^{n/{2^r}}-(bx)^{m/{2^r}})\cdot \prod_{i=1}^{r} ((ay)^{n/{2^i}}+(bx)^{m/{2^i}})
\,
Ejemplo 1:
9y^2-4x^2=
(3y)^2-(2x)^2=
(3y+2x)(3y-2x)\,
Ejemplo 2: Supongamos cualquier r, r=2 para este ejemplo.
(2y)^6-(3x)^{12}=
((2y)^{6/2^2}-(3x)^{12/2^2})\cdot\prod_{i=1}^{2} ((2y)^{6/{2^i}}+(3x)^{12/{2^i}})=
\,
((2y)^{3/2^2}-(3x)^{12/2^2})\cdot((2y)^{3/2^2}+(3x)^{12/2^2})\cdot((2y)^{3/2}+(3x)^{12/2})=
\,
((2y)^{3/4}-(3x)^{3})\cdot((2y)^{3/4}+(3x)^{3})\cdot((2y)^{3/2}+(3x)^{6})
\,
La factorización de la diferencia o resta de cuadrados consiste en obtener las raíz cuadrada de cada término y representar estas como el producto de binomios conjugados.'
https://www.youtube.com/watch?v=uxLNcfJmqvg
Caso V - Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción
Se identifica por tener tres términos, dos de ellos son cuadrados perfectos, pero el restante hay que completarlo mediante la suma para que sea el doble producto de sus raíces , el valor que se suma es el mismo que se resta para que el ejercicio original no cambie.
No se pudo entender (error léxico): x²+xy+y² x²+xy+y²+(xy-xy)= x²+2xy+y²-xy= (x+y)²-xy /
Nótese que los paréntesis en "(xy-xy)" están a modo de aclaración visual.
https://www.youtube.com/watch?v=CyqqeVtSETM
Caso VI - Trinomio de la forma x2 + bx + c
Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados (pudiendo ser números negativos) den como resultado el término del medio.
Ejemplo:
a^2+2a-15 = (a+5) (a-3) \,
Ejemplo:
a^3+10a+3 = (x+3)(x+2)\,
https://www.youtube.com/watch?v=PgJyTFoNCI8
Caso VII - Suma o diferencia de potencias a la n
La suma de dos números a la potencia n, an +bn se descompone en dos factores (siempre que n sea un número impar):
Quedando de la siguiente manera:
x^n + y^n = (x+y)(x^{n-1}-x^{n-2}y+x^{n-3}y^2-... + xy^{n-2}-y^{n-1}) \,
Ejemplo:
x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1) \,
La diferencia también es factorizable y en este caso no importa si n es par o impar. Quedando de la siguiente manera:
x^n-y^n = (x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^2 +... +xy^{n-2}+y^{n-1}) \,
Ejemplo:
x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1) \,
a^2-b^2 = (a-b)(a+b) \,
Las diferencias, ya sea de cuadrados o de cubos salen de un caso particular de esta generalización.
https://www.youtube.com/watch?v=Mqt8CEmBseM
Caso VIII - Trinomio de la forma ax2 + bx + c
En este caso se tienen 3 términos: El primer término tiene un coeficiente distinto de uno, la letra del segundo término tiene la mitad del exponente del término anterior y el tercer término es un término independiente, o sea sin una parte literal, así:
4x^2+12x+9\,
Para factorizar una expresión de esta forma, se multiplica la expresión por el coeficiente del primer término(4x2) :
4x^2(4)+12x(4)+(9\cdot4)\
4^2x^2+12x(4)+36\,
Luego debemos encontrar dos números que multiplicados entre sí den como resultado el término independiente y que su suma sea igual al coeficiente del término x :
6\cdot6=36
6+6=12\,
Después procedemos a colocar de forma completa el término x2 sin ser elevado al cuadrado en paréntesis, además colocamos los 2 términos descubiertos anteriormente :
(4x+6)(4x+6)\,
Para terminar dividimos estos términos por el coeficiente del término x2 :
\frac{(4x+6)(4x+6)}{4}\, :=\frac{(4x+6)}{2}\cdot \frac{(4x+6)}{2}\,
Queda así terminada la factorización :
(2x+3)(2x+3)\, : =(2x+3)^2\,
https://www.youtube.com/watch?v=_dFQ_XKNOY8
Caso IX - Cubo perfecto de Tetranomios
Teniendo en cuenta que los productos notables nos dicen que:
(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\,
(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\,
https://www.youtube.com/watch?v=YFuhCgnHA_8
Caso X - Divisores binómicos
Su proceso consiste en los siguientes pasos.
Posibles ceros
Artículo principal: Divisores binómicos
En este primer paso los posibles ceros es el cociente de la división de los divisores del término independiente[1] entre los divisores del coeficiente principal[2] y se dividen uno por uno.
Nota: Para un mejor entendimiento, este método se explicara con el siguiente ejemplo.
Si el enunciado es este:
x^{3}+x^{2}-5x-6
Se ve que el término independiente es 6 y el coeficiente principal es 1. Para sacar los posibles ceros se procede de la siguiente manera:
Pc=\frac{\pm (1, 2, 3, 6)}{\pm (1)}=\pm (1, 2, 3, 6)
Donde se puede notar que como se menciono anteriormente cada divisor de arriba fue divido por el de abajo; es decir, que el uno se dividió entre uno; el dos se dividió entre uno; el tres se dividió entre uno y por último el seis se dividió entre uno.
Regla de Ruffini (división algebraica)
Ahora se divide por regla de Ruffini, donde se toma como dividendo los coeficientes del enunciado y como divisor los posibles ceros y se prueba con la regla de Ruffini hasta que salga la división exacta (es decir de residuo cero).
\begin{array}{c|rrrr}
{} & 1 & 1 & -5 & -6 \\
-2 & {} & {-2} & {2} & {6} \\
\hline
{} & 1 & {-1} & {-3} & {0} \\
{} & \mathrm{Coef.} & {} & {} & \mathrm{Resto}
\end{array}
Se puede notar que al probar con menos dos, la división salió exacta.
Dos términos
Ahora, nuestra respuesta consta de 2 términos
Primer término
El -2 salió de un x+2 porque si x+2=0, saldría x=-2 . eso quiere decir que nuestro primer término es x+2
Nota: Siempre se iguala a cero y siempre los primeros términos son de la forma x+a .
Segundo término
El segundo término es el coeficiente de nuestra división por Ruffini, es decir, el segundo término es x2-x-3 .
Nota: En el segundo término, a veces todavía se puede descomponer por aspa simple; si ese es el caso, se debe descomponer.
Resultado final
El resultado final es el el siguiente:
(x+2)(x^{2}-x-3)
Nota: Se debe dejar así, no se debe multiplicar, puesto que eso sería retroceder todos los pasos
https://www.youtube.com/watch?v=2cpllZmq-mI
CASO IV DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS
REGLA PARA FACTORIZAR UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo. Se multiplica la suma de estas raíces cuadradas por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo
Ejemplo: Factor izar 1 – a2
1 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 1. a2 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es “a”.
Multiplica la suma de las raíces, (1 + a) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (1 - a)
1 – a2 = (1 + a) * (1 - a)
Ejemplo: Factor izar 16x2 – 25y4
16 x2 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 4 x. 25 y4 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 5 y2.
Multiplica la suma de las raíces, (4x + 5y2) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (4 x – 5 y2)
16x2 – 25y4 = (4x + 5y2) * (4 x – 5 y2)
Ejemplo: Factor izar 49 x2 y6 z10 – a12
49 x2 y6 z10 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 7 x y3 z5 a12 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es a6.
Multiplica la suma de las raíces, (7 x y3 z5 + a6) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del
49 x2 y6 z10 – a12 = (7 x y3 z5 + a6) * (7 x y3 z5 – a6)
https://www.youtube.com/watch?v=uxLNcfJmqvg
MARIA ANGELICA ZAPATA TOVAR
8.A
Caso III - Trinomio Cuadrado Perfecto
Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces cuadradas exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces del primero por el segundo. Para solucionar un Trinomio Cuadrado Perfecto debemos reordenar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo que acompaña al segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado.
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
Ejemplo 3:
http://www.youtube.com/watch?v=qNQcUWqdUgo
NOMBRE: Manuela Ramirez Garcia
GRADO: 8C
PROFESOR: Jorge Alfredo Velásquez Alvis
TRINOMIO CUADRADO DE LA FORMA: ( x2 + bx + c)
Este tipo de trinomio tiene las siguientes características:
. Tienen un término positivo elevado al cuadrado y con coeficiente 1 (X2).
. Posee un término que tiene la misma letra que el termino anterior pero elevada a 1 (bx) (puede ser negativo o positivo).
. Tienen un término independiente de la letra que aparece en los otros dos (+ o - ).
Reglas para factorizar un trinomio de esta forma:
1. Se descompone el trinomio en dos factores binomios cuyo primer término será la raíz cuadrada del termino X2.
2. El signo del primer binomio será el mismo signo que tenga el término ´´ bx´´ y de ´´c´´.
3. Si los dos factores tienen signos iguales entonces se buscan dos números cuya suma sea igual que el valor absoluto del factor ´´b´´ de ´´bx´´, y cuyo producto sea igual al valor absoluto del factor ´´c´´, estos números son los segundos términos de los factores binomios.
4. Si los dos factores tienen signos diferentes entonces se buscan dos números cuya diferencia sea igual que el valor absoluto del factor ´´b´´ de ´´bx´´, y cuyo producto sea igual al valor absoluto del factor ´´c´´, el mayor de estos números será el segundo término del primer factor binomio, y el menor de estos números será el segundo término del segundo factor binomio.
Ejemplo explicativo:
Factorizar m2 + 8m + 15
1 paso (m ) (m )
2 paso (m+ ) (m+ )
3 o 4 paso (m+ 3) (m+5)
EJEMPLOS:
X2+10X+24 : (X+6) (X+4)
a2-2a-24 : (a-6) (a+4)
a2m4+am2-380 : (am2+20) (am2-19)
X6-21X3m+98m2 : (X3-7m) (X3-14m)
ESTE VIDEO LES EXPLICARA MEJOR:
https://www.youtube.com/watch?v=R-Hka0SCxAc
JULIANA ANDREA BETANCUR VALENCIA
8.A
Caso I - Factor común
Sacar el factor común es añadir el literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes. Tambien se puede describir como buscar el factor comun entre los factores
Factor común trinomio
Factor común por agrupación de términos
y si solo si el polinomio es 0 y el tetranomio nos da x.
Factor común polinomio
https://www.youtube.com/watch?v=LWyZSXsMAr8
DANIELA RODRIGUEZ RAMOS
8-A
Factor común polinomio
Primero hay que determinar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con un término, sino con dos.
un ejemplo:
5x^2(x-y) + 3x(x-y) +7(x-y) \,
Se aprecia claramente que se está repitiendo el polinomio (x-y), entonces ese será el factor común. El otro factor será simplemente lo que queda del polinomio original, es decir:
(5x^2 + 3x +7) \,
La respuesta es:
(5x^2+3x+7)(x-y) \,
En algunos casos se debe utilizar el número 1, por ejemplo:
5a^2(3a+b) +3a +b \,
Se puede utilizar como:
5a^2(3a+b) + 1(3a+b) \,
Entonces la respuesta es:
(3a+b) (5a^2+1) \,
ttps://www.youtube.com/watch?v=xSklWvDD5os
CASO V
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICION Y SUSTRACCION
Factorar
x4 + x2y2 + y4
Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de x4 es x2. La raíz cuadrada de y4 es y2. El doble producto de estas raíces es 2x2y2 luego este trinomio no es cuadrado perfecto.
Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo término x2y2 se convierta en 2x2y2 lo cual se consigue sumándole x2y2 . Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, x2y2
X4 + x2y2 + y4 + x2y2 - x2y2
X4 + 2x2y2 + y4 - x2y2 = (x4 + 2x2y2 + y4) - x2y2
Facturando el trinomio cuadrado perfecto. (x4 + 2x2y2 + y4) - x2y2 (x2 + y2)2 - x2y2
Facturando la diferencia de cuadrados (x2 + y2)2 - x2y2 = [(x2 + y2) + xy] * [(x2 + y2) - xy] (x2 + y2)2 - x2y2 = [x2 + y2 + xy] * [x2 + y2 - xy] x4 + x2y2 + y4= [x2 + xy + y2 ] * [x2 – xy + y2]
Ejemplo: Descomponer 4a4 + 8a2 b2 + 9b4
Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de 4a4 es 2a2. La raíz cuadrada de 9b4 es 3b2. El doble producto de estas raíces es 2 * 2a2 * 3b2 =12 a2 b2 luego este trinomio no es cuadrado perfecto.
Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo término 8a2 b2 se convierta en 12 a2 b2 lo cual se consigue sumándole 4a2 b2 . Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, 4a2 b2
4a4 + 8a2 b2 + 9b4 + 4a2 b2 - 4a2 b2
4a4 + 12a2 b2 + 9b4 - 4a2 b2 = (4a4 + 12a2 b2 + 9b4 ) - 4a2 b2
Factorando el trinomio cuadrado perfecto. (4a4 + 12a2 b2 + 9b4 ) - 4a2 b2 (2a2 + 3b2)2 - 4a2 b2
Factorando la diferencia de cuadrados (2a2 + 3b2)2 - 4a2 b2 = [(2a2 + 3b2) + 2ab] * [(2a2 + 3b2) - 2ab] (2a2 + 3b2)2 - 4a2 b2 = [2a2 + 3b2 + 2ab] * [2a2 + 3b2 - 2ab] 4a4 + 8a2 b2 + 9b4= [2a2 + 2ab + 3b2 ] * [2a2 – 2ab + 3b2 ]
https://www.youtube.com/watch?v=CyqqeVtSETM
CASO VI TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c
Trinomios de la forma x2 + bx + c son trinomios como
x2 + 5x + 6
a2 – 2a – 15
m2 + 5m – 14
y2 – 8y + 15
que cumplen las condiciones siguientes:
• El coeficiente del primer termino es 1
• El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado.
• El segundo termino tiene la misma letra que el primero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.
• El tercer termino es independiente de la letra que aparece en el primer y segundo termino y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.
REGLA PRACTICA PARA FACTORAR UN TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c
• El trinomio se descompone en dos factores binomios cuyo primer término es “x”, o sea la raiz cuadrada del primer termino del trinomio.
• En el primer factor, después de “x” se escribe el signo del segundo termino del trinomio y en el segundo factor, después de “x” se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del segundo termino del trinomio por el signo del tercer termino del trinomio.
• Si los dos factores binomios tienen en el medio signos iguales se buscan dos numeros cuya suma sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. Estos numeros son los segundos terminos de los binomios.
• Si los dos factores binomios tienen en el medio signos distintos se buscan dos numeros cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. El mayor de estos numeros es el segundo término del primer binomio y el menor, el segundo termino del segundo binomio.
Ejemplo Factorar x2 + 5x + 6 El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer termino es la raiz cuadrada de x2 o sea “x”.
x2 + 5x + 6 = (x ) * (x )
En el primer binomio después de “x” se pone signo (+) por que el segundo termino del trinomio +5x tiene signo (+). En el segundo binomio, después después de “x” se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de +5x por el signo de +6 y se tiene que (+) * (+) = (+)
x2 + 5x + 6 = (x + ) * (x + )
Ahora, como en estos binomios tenemos signos iguales buscamos dos numeros que cuya suma sea 5 y cuyo producto sea 6. Estos numeros son 2 y 3, luego.
x2 + 5x + 6 = (x + 2) * (x + 3)
Ejemplo Factorar x2 - 7x + 12 El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer termino es la raiz cuadrada de x2 o sea “x”.
x2 - 7x + 12 = (x ) * (x )
En el primer binomio después de “x” se pone signo (-) por que el segundo termino del trinomio -7x tiene signo (-). En el segundo binomio, después después de “x” se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de -7x por el signo de +12 y se tiene que (-) * (+) = (-)
x2 - 7x + 12 = (x - ) * (x - )
Ahora, como en estos binomios tenemos signos iguales buscamos dos numeros que cuya suma sea 7 y cuyo producto sea 12. Estos numeros son 4 y 3, luego.
x2 - 7x + 12 = (x - 4) * (x - 3)
54
Ahora, como en estos binomios tenemos signos distinos buscamos dos numeros cuya diferencia sea 5 y cuyo producto sea 14. Estos numeros son 7 y 2, luego.
x2 - 5x – 14 = (x - 7) * (x + 2)
https://www.youtube.com/watch?v=lIxOeZMLnuE
Caso VII. Trinomio de la forma ax^2 +bx +c
Condiciones que debe cumplir un trinomio de la forma ax^2 +bx +c:
- El primer término tiene un coeficiente mayor que 1 y tiene una letra cualquiera elevada al cuadrado.
- El segundo término tiene la misma letra que el primero pero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera positiva o negativa.
- El tercer término es una cantidad cualquiera positiva o negativa sin ninguna letra en común con el 1° y 2° términos.
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Procedimiento para el trinomio de la forma ax^2 +bx +c:
-Antes de descomponer el trinomio en dos factores binomios,
se procede así: como ejemplo: 6x^2 -7x -3
1°) Se multiplica el coeficiente del primer término ” 6 ” por todo el trinomio, dejando el producto del 2° término indicado:
6(6x^2 -7x +3) = 36x^2 -6(7x) -18
2°) Se ordena tomando en cuenta que 36x^2 = (6x)^2 y 6(-7x) = -7(6x), escribiéndolo de la siguiente manera: (6x)^2 -7(6x) -18
3°) Luego se procede a factorar (6x)^2 -7(6x) -18 como un problema del Caso VI. con una variante que se explica en el Inciso 6°
4°) Se forman 2 factores binomios con la raíz cuadrada del primer término del trinomio: (6x- )(6x+ )
5°) Se buscan dos #s cuya diferencia sea -7 y cuyo producto sea -18 ; y esos #s son -9 y +2 porque: -9 +2 = -7 y (-9)(2) = -18 –> = (6x-9)(6x+2)
6°) Aquí está la variante: Como al principio multiplicamos el trinomio por “6″, entonces ahora los factores binomios encontrados, los dividimos entre “6″
(6x-9)(6x+2) / 6 ; como ninguno de los binomios es divisible entre “6″ entonces descomponemos el “6″ en dos factores (3 y 2), de manera que uno divida a un factor binomio y el segundo divida al otro. Así: (6x-9) / 3 y (6x+2) / 2 , y estos cocientes quedarían así: (2x-3)(3x+1). que sería la Solución.
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Ejemplo:
a) Factorar 20x^2 +7x -6
>> Multiplicando el trinomio por el coeficiente del 1° término (20):
20(20x^2 +7x -6) = 400x^2 +20(7x) -120, se ordena tomando en cuenta que 400x^2 = (20x)^2 y 20(7x) = 7(20x),
quedaría así: (20x)^2 +7(20x) -120
>> Se factoriza (20x)^2 +7(20x) -120, como un Caso VI
Se encuentra dos factores binomios: (20x + )(20x- )
Se buscan 2 #s cuya diferencia sea 7 y cuyo producto sea -120,
y estos son: 15 y -8, porque 15 -8 = 7 y (15)(-8) = -120 –>
la Solución parcial sería : (20x+15)(20x-8)
>> Aplicando la Solución (20x+15)(20x-8) para el caso VII;
Como multiplicamos el trinomio original por 20, ahora dividimos la Solución por 20: (20x+15)(20x-8) / 20 ,
como los binomios no son divisibles entre 20; –> descomponemos el 20 en 2 #s, tal que el 1° # divida a un factor binomio y el 2° # divida al otro factor:
y éstos son: 5 y 4 porque (20x+15) / 5 = (4x+3) y (20x-8) / 4 = (5x-2)
–> la Solución final es: (4x+3)(5x-2
https://www.youtube.com/watch?v=U8CgJporiVE
Caso VIII - Trinomio de la forma ax2 + bx + c
En este caso se tienen 3 términos: El primer término tiene un coeficiente distinto de uno, la letra del segundo término tiene la mitad del exponente del término anterior y el tercer término es un término independiente, o sea sin una parte literal, así:
Para factorizar una expresión de esta forma, se multiplica la expresión por el coeficiente del primer término(4x2) :
Luego debemos encontrar dos números que multiplicados entre sí den como resultado el término independiente y que su suma sea igual al coeficiente del término x :
Después procedemos a colocar de forma completa el término x2 sin ser elevado al cuadrado en paréntesis, además colocamos los 2 términos descubiertos anteriormente :
Para terminar dividimos estos términos por el coeficiente del término x2 :
:
Queda así terminada la factorización :
:
https://www.youtube.com/watch?v=g4q9S-WUqCA
Maria Alejandra Mancilla Oliver 8.C
Caso de factorización VI: Trinomios de la forma x2+bx+c.
Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados (pudiendo ser números negativos) den como resultado el término del medio.
Ejemplo:
a2+2a-15=(a+5)(a-3)
Ejemplo:
a3+10a+3= (x+3)(x+2)
Suma y diferencia de cubos: caso VI…
• La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores, el primero es la suma de sus raíces cúbicas, y el segundo se compone del cuadrado de la primera raíz menos el producto de ambas raíces más el cuadrado de la segunda raíz.
• La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores, el primero es la diferencia de sus raíces cúbicas, y el segundo se compone del cuadrado de la primera raíz más el producto de ambas raíces más el cuadrado de la segunda raíz.
Ejemplo explicativo:
Factorizar: 27a3-8b6
Raíces: 27a3 =3a 8b6 =2b2
Productos: (3a)= 9a2 (3a)(2b2) =6ab (2b2)2 = 4b4
Resultado: (3a-2b2)(9a2+6ab2+4b4)
Ejemplos:
64m3+125n6 =(4m+5n2)(16m2-20mn2+25n4)
8(m+n)3-1000 =[2(m+n)-10][4(m+n)2+ 20(m+n)+ 100]
27(x+y)3-216(x-y)3 =[3(x+y)- 6 (x-y)][9(x+y)2 + 18(x+y)(x-y) +36(x-y)2]
= (3x+3y-6x+6y)(9x2+18xy+9y2+18x2-18y2+36x2-72xy+36y2)
= (9y-3x)(63x2 -54xy+27y2)
https://www.youtube.com/watch?v=lIxOeZMLnuE
https://www.youtube.com/watch?v=phUw7OuaVM
Caso IX - Cubo perfecto de Tetranomios
➈ Trinomio de la Forma; ax² + bx + c
Factorar 6x² - x – 2 = 0
Pasos:
➊ Vamos a multiplicar todos los términos del trinomio por el coeficiente de 1er , termino [ 6 ], en el 2do termino del trinomio, solo dejamos señalada la multiplicación
6x² - x – 2
36x² - [ 6 ] x – 12
➋ Abrimos 2 paréntesis, con las raíces de [ 36x² ], que es el 1er termino del trinomio equivalente
(6x.......) (6x.......)
➌ Basándonos en los coeficientes del 2do termino [ - 1 ] y en el 3er termino del trinomio [ - 12 ], vamos a buscar 2 numero que sumados me den [ - 1 ] y multiplicados [ - 12 ]
➍ Esos numero son [ - 4 y 3 ]
- 4 + 3 = - 1
[ - 4] [ 3 ] = - 12
➎ Ahora colocamos los números encontrados dentro de los paréntesis
(6x - 4) (6x - 3)
https://www.youtube.com/watch?v=LZE5eWFeAo4
Caso X - Divisores binómicos
Su proceso consiste en los siguientes pasos.
Posibles ceros
Artículo principal: Divisores binómicos
En este primer paso los posibles ceros es el cociente de la división de los divisores del término independiente[1] entre los divisores del coeficiente principal[2] y se dividen uno por uno.
Nota: Para un mejor entendimiento, este método se explicara con el siguiente ejemplo.
Si el enunciado es este:
Se ve que el término independiente es 6 y el coeficiente principal es 1. Para sacar los posibles ceros se procede de la siguiente manera:
Donde se puede notar que como se menciono anteriormente cada divisor de arriba fue divido por el de abajo; es decir, que el uno se dividió entre uno; el dos se dividió entre uno; el tres se dividió entre uno y por último el seis se dividió entre uno.
Regla de Ruffini (división algebraica)
Ahora se divide por regla de Ruffini, donde se toma como dividendo los coeficientes del enunciado y como divisor los posibles ceros y se prueba con la regla de Ruffini hasta que salga la división exacta (es decir de residuo cero).
Se puede notar que al probar con menos dos, la división salió exacta.
Dos términos
Ahora, nuestra respuesta consta de 2 términos
Primer término
El -2 salió de un x+2 porque si x+2=0, saldría x=-2 . eso quiere decir que nuestro primer término es x+2
Nota: Siempre se iguala a cero y siempre los primeros términos son de la forma x+a .
Segundo término
El segundo término es el coeficiente de nuestra división por Ruffini, es decir, el segundo término es x2-x-3 .
Nota: En el segundo término, a veces todavía se puede descomponer por aspa simple; si ese es el caso, se debe descomponer.
Resultado final
El resultado final es el el siguiente:
Nota: Se debe dejar así, no se debe multiplicar, puesto que eso sería retroceder todos los pasos.
https://www.youtube.com/watch?v=Chw3SJYhUJE
Caso XI Triángulo de Pascal y factorización
Conociendo el desarrollo del [Triángulo de Pascal], podemos obtener factorizaciones muy sencillas.
Así por ejemplo, tenemos:
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
Ejemplo 3:
Ejemplo 4:
El principio es muy similar al que genera la primera fórmula notable, o trinomio cuadrado perfecto.
Notas
1. Volver arriba↑ término del polinomio que no está acompañado de una variable.
2. Volver arriba↑ coeficiente que está acompañado de la variable del mayor exponente.
en matematicas. la factorizacion es una tecnica que consiste la descompocision de una expresion matematicas (que puede ser un numero una suma
https://www.youtube.com/watch?v=4fyHnnmZxvk
COMBINACIÓN DE LOS CASOS III Y IV
Estudiamos a continuación la descomposición de expresiones compuestas en las cuales mediante un arreglo conveniente de sus términos se obtiene uno o dos trinomios cuadrados perfectos y descomponiendo estos trinomios (CASO III) se obtiene una diferencia de cuadrados (CASO IV)
Ejemplo: Factorizar a2 + 2ab + b2 – 1
Aquí tenemos que a2 + 2ab + b2 es un trinomio cuadrado perfecto; luego
a2 + 2ab + b2 – 1 = (a2 + 2ab + b2) – 1
Factorando el trinomio a2 + 2ab + b2 – 1 = (a + b)2 – 1
Factorando la diferencia de cuadrados a2 + 2ab + b2 – 1 = [(a + b) + 1] * [(a + b) - 1]
a2 + 2ab + b2 – 1= [a + b + 1] * [a + b - 1]
Ejemplo: Descomponer a2 + m2 – 4b2 – 2am
Ordenando esta expresión, podemos escribirla: a2 - 2am + m2 – 4b2
Aquí tenemos que a2 - 2am + m2 – 4b2 es un trinomio cuadrado perfecto; luego
a2 - 2am + m2 – 4b2 = (a2 - 2am + m2 ) – 4b2
Factorando el trinomio a2 - 2am + m2 – 4b2 = (a - m)2 – 4b2
Factorando la diferencia de cuadrados a2 - 2am + m2 – 4b2 = [(a - m) + 2b] * [(a - m) – 2b] a2 - 2am + m2 – 4b2 = [a - m + 2b] * [a - m – 2b]
Ejemplo: Descomponer 9a2 – x2 + 2x – 1
Introduciendo los tres últimos términos en un paréntesis precedido del signo (-) para que x2 y 1 se hagan positivos, tendremos:
9a2 – x2 + 2x – 1 = 9a2 – (x2 - 2x + 1)
Factorando el trinomio
Buenas noches profesor Jorge Alfredo aver si me asia un favor y me podía colaborara con la materia que necesito un 38 profesor muchas gracia y buenas noches att santiago rojas
Juan Sebastian Lugo 8-A
°LA FACTORIZACIÓN
°Factor común por agrupación de términos:
°Se llama factor común por agrupación de términos, si los términos de un polinomio pueden reunirse en grupos de términos con un factor común diferente en cada grupo.
Cuando pueden reunirse en grupos de igual número de términos se le saca en cada uno de ellos el factor común. Si queda la misma expresión en cada uno de los grupos entre paréntesis, se la saca este grupo como factor común, quedando así una multiplicación de polinomios.
Tratar desde el principio que nos queden iguales los términos de los paréntesis nos hará mas sencillo el resolver estos problemas.
2ax + 2bx - ay + 5a - by + 5b
Agrupo los términos que tienen un factor común:
(2ax - ay + 5a ) + ( 2bx - by + 5b )
Saco el factor común de cada grupo:
a ( 2x - y + 5 ) + b (2x - y + 5 )
Como las expresiones encerradas entre paréntesis son iguales se tiene:
( 2x -y +5 )(a + b)
Que es nuestra respuesta.
Ejemplos:
17ax – 17mx + 3ay - 3my + 7az – 7mz = a(17x +3y +7z) - m(17x + 3y +7z)
= (17x +3y +7z)(a – m)
m(x + 2) – x – 2 + 3(x + 2) = (x + 2)(m + 3) -1(x + 2) = (x + 2)[(m + 3) – 1]
= (x + 2)(m + 3 – 1)
Otra forma de hacerlo:
m(x + 2) – x – 2 + 3(x + 2) = m(x + 2) -1(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(m + 3 -1)
VIDEO-->Explicacion Factor común por agrupación de términos http://youtu.be/uhN2eVLAEDw
Juan Sebastian Lugo
Grado 8-A
JUAN SEBASTIAN HURTADO ÁLZATE
8*B - 2014
CASO #5 :Trinomio Cuadrado Perfecto a² ± 2ab + b² = (a + b)²
Se es trinomio cuadrado perfecto cuando cumple la siguiente regla:
☞El Cuadrado del 1er Termino ± 2 Veces el 1er Termino por el 2do + el Cuadrado del 2do Termino
Factorar: m² + 6m + 9
m² + 6m + 9
↓…………..↓
m..............3
➊ Sacamos la Raíz Cuadrada del 1er y 3er Término
[ m ] y [ 3 ]
➋ Las Raíces las acomodas dentro de una paréntesis, y las separas con el signo [ + ], este signo se toma del 2do termino del trinomio, y solo falta que al binomio, que se formo le agregues el exponente [ 2 ], con esto te queda un Binomio de la Suma de 2 Términos elevados al Cuadrado
(m + 3)²
Nota:
Si el 2do. Signo del Trinomio hubiera sido [ - ], tu Binomio hubiera quedado (m - 3)²
➌ Ahora aplica la Regla del TCP
(m + 3)²
El Cuadrado del 1er Termino = m²
[ + ] 2 Veces el 1er Termino por el 2do; [2m] [3] = 6m
[ + ] el Cuadrado del 2do Termino; [3]² = 9:
http://factorfranklin.blogspot.com/2012/01/factorizacion-caso-5.html
CASO #6Diferencia de Cuadrados Perfectos: a² - b² = (a - b) (a + b)
De una diferencia de cuadrados obtendrás 2 binomios conjugados (mismos términos diferente a² - b² = (a - b) (a + b)
4a² - 9 = (2a - 3) (2a + 3):
https://googledrive.com/host/0BxWeAixOY7qGVnp2T2kxdU02WUU/title/2/opentor-algebra-baldor-158.jpg
JUAN SEBASTIAN HURTADO ÁLZATE
8*B - 2014
CASO #7 : Método para factorizar un trinomio de la forma ax2+bx+c reduciéndolo a un trinomio simple de la forma X2+bX+c también conocido como el séptimo caso de factorización, el caso número VII de factorización, hablando en el orden del Álgebra de Baldor. Mostrar cómo factorizar trinomios de la forma ax2+bx+c. En el texto de Baldor lo realizan por tanteo. El método dice que lo que tengo que hacer es tratar de convertir la expresión a un trinomio de la forma [(ax)2 + b(ax) + ca ]/2. En el primer ejemplo lo que hicimos es multiplicar toda la expresión inicial por 2, y dividirla por 2 para que no se altere. Esto con el objetivo de dejar un polinomio que se pueda resolver por tanteo. Después de resuelto el trinomio de la forma ax2+bx+c, debemos recordar que todo está dividido sobre un número y realizar la simplificación:
http://www.youtube.com/watch?v=eEj6Q0GnxyE
CASO #8: Sea la expresión: a^3 +3a^2b +3ab^2 +b^3 = (a+b)^3
a) Debe tener 4 términos
b) Que el 1° y 4° término sean cubos perfectos.
c) Que el 2° término sea el triplo del cuadrado de la raíz cúbica del primer término multiplicado por la raíz cúbica del 4° término ( 3a^2b)
d) Que el 3° término sea el triplo de la raíz cúbica del primer término multiplicado por el cuadrado de la raíz cúbica del 4° término (3ab^2)
Procedimiento para factorar una expresión que sea un Cubo Perfecto de Binomio:
Sea el ejemplo: 8x^3 +12x^2 +6x +1
>> Se extrae la raíz cúbica del 1° y 4° términos:
raíz cúbica de 8x^3 = 2x y raíz cúbica de 1 = 1
>> Se comprueba el 2° y 3° término de la expresión:
2° término: 3(2x)^2(1) = 3(4x^2)(1) = 12x^2
3° término: 3(2x)(1)^2 = 3(2x)(1) = 6x
>> Como todos los términos de la expresión son positivos la el binomio resultante de la expresión es:
8x^3 +12x^2 +6x +1 = (2x +1)^3 , que es la Solución.
Otro ejemplo: 8x^6 +54x^2y^6 -27y^9 -36x^4y^3
>> En este caso se ordena la expresión en relación a la letra “x” y quedaría así:
8x^6 -36x^4y^3 +54x^2y^6 -27y^9 –>
>> Se extrae la raíz cúbica del 1° y 4° término:
raíz cúbica de 8x^6 = 2x^2 ; raíz cúbica de 27y^9 = 3y^3
>> Se comprueba el 2° y 3° término de la expresión:
2° término: 3(2x^2)^2(3y^3) = 3(4x^4)(3y^3) = 36x^4y^3
3° término: 3(2x^2)(3y^3)^2 = 3(2x^2)(9y^6) = 54x^2y^6
>> Como los términos de la expresión son alternativamente positivos y negativos ( +, -, +, -) el binomio resultante de la expresión es: 8x^6 -36x^4y^3 +54x^2y^6 -27y^9 = (2x^2 -3y^3)^3 que es la Solución
NOTA: Para extraer la raíz cúbica de un monomio, se le extrae raíz cúbica al coeficiente y se divide el exponente de la letra entre 3 : 8x^6 –> raíz cúbica de 8 es 2 y 6/3 = 2 –> = 2x^2:
http://www.youtube.com/watch?v=wBNsEddmGec
JUAN SEBASTIAN HURTADO ÁLZATE
8*B - 2014
CASO #9: http://www.opentor.com/algebra-baldor/167.html
CASO #10 : Suma o Diferencia de Cubos: a³ ± b³
Suma de Cubos:
============
a³ + b³ = (a + b) (a² - ab + b²)
Se resuelve de la siguiente manera
El binomio de la suma de las raíces de ambos términos (a + b)
El cuadrado del 1er termino, [ a² ]
[ - ] el producto de los 2 términos [ ab ]
[ + ] El cuadrado del 2do termino; [ b² ]
Diferencia de Cubos:
==============
a³ - b³ = (a - b) (a² + ab + b²)
Se resuelve de la siguiente manera
El binomio de la resta de las raíces de ambos términos (a - b)
El cuadrado del 1er termino, [ a² ]
[ + ] el producto de los 2 términos [ ab ]
[ + ] el cuadrado del 2do termino; [ b² ]:
https://googledrive.com/host/0BxWeAixOY7qGVnp2T2kxdU02WUU/title/2/opentor-algebra-baldor-169.jpg
Marcela Restrepo
Octavo B
CASO V. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
Existen algunos trinomios, en los cuales su primer y tercer
términos son cuadrados perfectos (tienen raíz cuadrada
exacta), pero su segundo términos no es el doble producto de sus raíces cuadradas.
x2 + 2x + 9, no es un trinomio cuadrado perfecto.
Para que un trinomio de estos se convierta en un trinomio
cuadrado perfecto, se debe sumar y restar un mismo
número (semejante al segundo término) para que el
segundo término sea el doble producto de las raíces
cuadradas del primer y último término. A este proceso
se le denomina completar cuadrados.
Ejemplo: m4 + 6m2 + 25.
Para que m4 + 6m2 + 25, sea un trinomio cuadrado perfecto, el segundo término debe ser igual a 10m2. Por esto, se le debe sumar y restar al trinomio es 4m2 , pues 6m2 + 4m2 = 10m2
Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción, se completan cuadrados y se factoriza la
expresión, primero como un trinomio cuadrado perfecto y
después, como una diferencia de cuadrados.
Para seguir comprendiendo mejor el tema, las invito a ver los siguientes videos.
http://youtu.be/K-DLhJhTeK8
Marcela Restrepo
Octavo B
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO / EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 6
EJEMPLO 6: (Con un número multiplicando a la x2)
9x2 + 30x + 25 = (3x + 5)2
3x 5
2.5.3x
30x
Las bases son 3x y 5, ya que (3x)2 dá 9x2. En este caso hay un número acompañando a la letra que está al cuadrado. Para que el término sea uno de los cuadrados que buscamos, ese número también tiene que ser un cuadrado (4, 9, 16, 25, etc.).
EXPLICACIÓN:
Nota: Para una explicación más detallada de cada paso y conceptos relacionados, consultar en el EJEMPLO 1, donde se explica el caso por primera vez.
1) Los cuadrados son 9x2 y el 25 (¿qué es un "cuadrado"?). Porque:
25 es el cuadrado de 5, y
9x2 "es cuadrado" de 3x, ya que (3x)2 es igual a 9x2 (¿por qué?).
Podría pensarlo de la siguiente manera: Por el 9, "bajo el 3". Y por la x2, "bajo la x". En total "bajo 3x".
Por otro lado, el término "30x" nunca podría ser cuadrado de algo, ya que 30 no es cuadrado de ningún número racional (no tiene raíz cuadrada "exacta") (¿por qué digo "racional"?), y el exponente de "x" no es un número par (x es x1, y el 1 es un número impar). (más explicación sobre esto) (los que no son cuadrado)
2) Las bases son entonces 3x y 5
3) Una vez que decidí cuáles son las bases, multiplico para calcular el "doble producto" de las bases (¿doble producto?):
2. 3x. 5 ("Dos por 3x por 5")
El resultado es "30x". Ya que 2.3x.5 es igual a 2.3.5.x., lo que es igual a 30x. (¿por qué?)
2.3x.5 = 30x
"Dió bien". Ya que 30x está en el polinomio que quiero factorizar (9x2 + 30x + 25). Verifiqué así que se trata de un Trinomio Cuadrado Perfecto.
4) El resultado de la factorización es entonces:
(3x + 5)2
Es decir, "la suma de las bases, elevada al cuadrado".
________________________________________
http://youtu.be/jrTMcv55JRg
CRISTIAN CAMILO GARCIA CASTIBLANCO 8 C 2014
Primer Caso De Factorizacion :
http://youtu.be/pkWYq43L_Es
Segundo Caso de Factorizacion :
http://youtu.be/Rhttf8bA3v8
Tercer Caso de Factorizacion :
http://youtu.be/4bg8tJLVjrc
Cuarto Caso De Factorizacion :
https://www.youtube.com/watch?v=uxLNcfJmqvg
Quinto Caso De Factorizacion :
http://youtu.be/CyqqeVtSETM
Sexto Caso De Factorizacion :
http://youtu.be/jrTMcv55JRg
Séptimo Caso de Factorizacion :
http://youtu.be/uQ0HTFJ1S3s
Octavo Caso de Factorizacion :
http://youtu.be/hXwuGnc5XuM
noveno Caso De Factorizacion :
http://youtu.be/YFuhCgnHA_8
decimo Caso De Factorizacion
http://youtu.be/2cpllZmq-mI
Espero Que Le Sirva Puede Encontrar Desde El Primer Caso Hasta El Decimo Caso De Factorizacion Gracias ¡ c:
factorizacion caso 8
➇ Trinomio de la Forma; x² + bx + c
Factorar x² + 7x + 12
➊ Abrimos 2 paréntesis, con las raíces de [ x² ], que es el 1er termino del trinomio
(x.......) (x.......)
➋ Hay que buscar 2 números que sumados me den 7 y multiplicados me den 12
4 + 3 = 7
4 x 3 = 12
➌ Esos números son [ 4 ] y [ 3 ], ahora los acomodamos dentro de los paréntesis
(x + 4)(x + 3)
Esta será la Factorización: x² + 7x + 12 = (x + 4) (x + 3)
http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=swf9O0DQseI
➆ Caso Especial de Diferencia de Cuadrados Perfectos:
Factorar (a + b)² - c²
(a + b)² - c²
Nota: (a + b)² = (a + b) (a + b)
[(a + b) + c] [(a + b) - c]; quitamos paréntesis
(a + b + c) (a + b – c)
http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=TMICv7_5KBQ
➅ Diferencia de Cuadrados Perfectos: a² - b² = (a - b) (a + b)
De una diferencia de cuadrados obtendrás 2 binomios conjugados (mismos términos diferente signo)
a² - b² = (a - b) (a + b)
4a² - 9 = (2a - 3) (2a + 3)
http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=lU7ndvU_03Y
JORGE MONTOYA
8-B 2014
CASO 5: ➄ Trinomio Cuadrado Perfecto a² ± 2ab + b² = (a + b)²
Se es trinomio cuadrado perfecto cuando cumple la siguiente regla:
☞El Cuadrado del 1er Termino ± 2 Veces el 1er Termino por el 2do + el Cuadrado del 2do Termino
Factorar: m² + 6m + 9
m² + 6m + 9
↓…………..↓
m..............3
➊ Sacamos la Raíz Cuadrada del 1er y 3er Término
[ m ] y [ 3 ]
➋ Las Raíces las acomodas dentro de una paréntesis, y las separas con el signo [ + ], este signo se toma del 2do termino del trinomio, y solo falta que al binomio, que se formo le agregues el exponente [ 2 ], con esto te queda un Binomio de la Suma de 2 Términos elevados al Cuadrado
(m + 3)²
Nota:
Si el 2do. Signo del Trinomio hubiera sido [ - ], tu Binomio hubiera quedado (m - 3)²
➌ Ahora aplica la Regla del TCP
(m + 3)²
El Cuadrado del 1er Termino = m²
[ + ] 2 Veces el 1er Termino por el 2do; [2m] [3] = 6m
[ + ] el Cuadrado del 2do Termino; [3]² = 9
➍ Junta los Términos
m² + 6m + 9; si es un TCP, ya que cumple la Regla
http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=5XJf_FoV8oE
CASO 6: ➅ Diferencia de Cuadrados Perfectos: a² - b² = (a - b) (a + b)
De una diferencia de cuadrados obtendrás 2 binomios conjugados (mismos términos diferente signo)
a² - b² = (a - b) (a + b)
4a² - 9 = (2a - 3) (2a + 3)
http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=lU7ndvU
JORGE MONTOYA
8-B 2014
CASO 7: ➆ Caso Especial de Diferencia de Cuadrados Perfectos:
Factorar (a + b)² - c²
(a + b)² - c²
Nota: (a + b)² = (a + b) (a + b)
[(a + b) + c] [(a + b) - c]; quitamos paréntesis
(a + b + c) (a + b – c)
http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=TMICv7_5KBQ
CASO 8: ➇ Trinomio de la Forma; x² + bx + c
Factorar x² + 7x + 12
➊ Abrimos 2 paréntesis, con las raíces de [ x² ], que es el 1er termino del trinomio
(x.......) (x.......)
➋ Hay que buscar 2 números que sumados me den 7 y multiplicados me den 12
4 + 3 = 7
4 x 3 = 12
➌ Esos números son [ 4 ] y [ 3 ], ahora los acomodamos dentro de los paréntesis
(x + 4)(x + 3)
Esta será la Factorización: x² + 7x + 12 = (x + 4) (x + 3)
http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=swf9O0DQseI
CASO V. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
Existen algunos trinomios, en los cuales su primer y tercer
términos son cuadrados perfectos (tienen raíz cuadrada
exacta), pero su segundo términos no es el doble producto de sus raíces cuadradas.
x2 + 2x + 9, no es un trinomio cuadrado perfecto.
Para que un trinomio de estos se convierta en un trinomio
cuadrado perfecto, se debe sumar y restar un mismo
número (semejante al segundo término) para que el
segundo término sea el doble producto de las raíces
cuadradas del primer y último término. A este proceso
se le denomina completar cuadrados.
Ejemplo: m4 + 6m2 + 25.
Para que m4 + 6m2 + 25, sea un trinomio cuadrado perfecto, el segundo término debe ser igual a 10m2. Por esto, se le debe sumar y restar al trinomio es 4m2 , pues 6m2 + 4m2 = 10m2
Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción, se completan cuadrados y se factoriza la
expresión, primero como un trinomio cuadrado perfecto y
después, como una diferencia de cuadrados.
http://youtu.be/CyqqeVtSETM
http://youtu.be/CyqqeVtSETM
JORGE MONTOYA
8-B 2014
CASO 9: ➈ Trinomio de la Forma; ax² + bx + c
Factorar 6x² - x – 2 = 0
Pasos:
➊ Vamos a multiplicar todos los términos del trinomio por el coeficiente de 1er , termino [ 6 ], en el 2do termino del trinomio, solo dejamos señalada la multiplicación
6x² - x – 2
36x² - [ 6 ] x – 12
➋ Abrimos 2 paréntesis, con las raíces de [ 36x² ], que es el 1er termino del trinomio equivalente
(6x.......) (6x.......)
➌ Basándonos en los coeficientes del 2do termino [ - 1 ] y en el 3er termino del trinomio [ - 12 ], vamos a buscar 2 numero que sumados me den [ - 1 ] y multiplicados [ - 12 ]
➍ Esos numero son [ - 4 y 3 ]
- 4 + 3 = - 1
[ - 4] [ 3 ] = - 12
➎ Ahora colocamos los números encontrados dentro de los paréntesis
(6x - 4) (6x - 3)
➏ Como se puede ver, los coeficientes, dentro de los binomios, son múltiplos, por lo que hay que reducirlos
(6x - 4) (6x - 3) = (3x - 2) (2x - 1)
Esta será la Factorización: 6x² - x – 2 = (2x+1) (3x-2)
http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=1fOjZVVT4sQ
CASO 10: ➉ Suma o Diferencia de Cubos: a³ ± b³
Suma de Cubos:
============
a³ + b³ = (a + b) (a² - ab + b²)
Se resuelve de la siguiente manera
El binomio de la suma de las raíces de ambos términos (a + b)
El cuadrado del 1er termino, [ a² ]
[ - ] el producto de los 2 términos [ ab ]
[ + ] El cuadrado del 2do termino; [ b² ]
Diferencia de Cubos:
==============
a³ - b³ = (a - b) (a² + ab + b²)
Se resuelve de la siguiente manera
El binomio de la resta de las raíces de ambos términos (a - b)
El cuadrado del 1er termino, [ a² ]
[ + ] el producto de los 2 términos [ ab ]
[ + ] el cuadrado del 2do termino; [ b² ]
http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=3Qh5MlFGx2g
CASO V. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
Existen algunos trinomios, en los cuales su primer y tercer
términos son cuadrados perfectos (tienen raíz cuadrada
exacta), pero su segundo términos no es el doble producto de sus raíces cuadradas.
x2 + 2x + 9, no es un trinomio cuadrado perfecto.
Para que un trinomio de estos se convierta en un trinomio
cuadrado perfecto, se debe sumar y restar un mismo
número (semejante al segundo término) para que el
segundo término sea el doble producto de las raíces
cuadradas del primer y último término. A este proceso
se le denomina completar cuadrados.
Ejemplo: m4 + 6m2 + 25.
Para que m4 + 6m2 + 25, sea un trinomio cuadrado perfecto, el segundo término debe ser igual a 10m2. Por esto, se le debe sumar y restar al trinomio es 4m2 , pues 6m2 + 4m2 = 10m2
Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción, se completan cuadrados y se factoriza la
expresión, primero como un trinomio cuadrado perfecto y
después, como una diferencia de cuadrados.
http://youtu.be/gzRQVcukxlw
cASO V. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
VIDEO: http://www.youtube.com/watch?v=K-DLhJhTeK8
TEORIA: CASO 5 TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICION Y SUSTRACION
Existen algunos trinomios, en los cuales su primer y tercer
términos son cuadrados perfectos (tienen raíz cuadrada
exacta), pero su segundo términos no es el doble producto de sus raíces cuadradas.
x2 + 2x + 9, no es un trinomio cuadrado perfecto.
Para que un trinomio de estos se convierta en un trinomio
cuadrado perfecto, se debe sumar y restar un mismo
número (semejante al segundo término) para que el
segundo término sea el doble producto de las raíces
cuadradas del primer y último término. A este proceso
se le denomina completar cuadrados.
Ejemplo: m4 + 6m2 + 25.
Para que m4 + 6m2 + 25, sea un trinomio cuadrado perfecto, el segundo término debe ser igual a 10m2. Por esto, se le debe sumar y restar al trinomio es 4m2 , pues 6m2 + 4m2 = 10m2
Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción, se completan cuadrados y se factoriza la
expresión, primero como un trinomio cuadrado perfecto y
después, como una diferencia de cuadrados.
CASO VI. TRINOMIO DE LA FORMA x^2 + bx + c
Video: https://www.youtube.com/watch?v=6yIvPIVxQxY
Teoría: Expresiones como x2 + 5x +6, a4 + 3a2 - 10, son trinomios de la forma x2 + bx + c.
Los trinomios de esta forma tienen las siguientes características:
1. El coeficiente del primer término es 1.
2. La variable del segundo término es la misma que la del
primer término pero con exponente a la mitad.
3. El tercer término es independiente de la letra que
aparece en el primer y segundo términos del trinomio.
Para factorizar un trinomio de la forma x2 + bx + c, se buscan dos números m y n, tales que,
x2 + bx + c = (x + m)(x + n); donde m + n = b y m.n = c
Esto quiere decir, que la suma o resta de estos dos números sea igual al coeficiente del segundo término y
su producto sea el tercer término; los signos de los factores es: en el primer factor se escribe el signo del segundo término del trinomio y para el segundo factor
se multiplican el signo del segundo término con el signo del tercer término.
EJERCICIOS RESUELTOS:
Factorizar.
1. x2 + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2)
2. a4 - 7a2 - 30 = (a2 - 10)(a2 + 3)
3. m2 + abcm - 56a2b2c2 = (m + 8abc)(m - 7abc)
juliana varon caceres 8B
https://www.youtube.com/watch?v=jrTMcv55JRg&spfreload=10
oscar daniel gordillo rodas 8c
https://www.youtube.com/watch?v=jrTMcv55JRg&spfreload=10
esteban echeverry pulgarin 8c
Caso VII - Suma o diferencia de potencias a la n
La suma de dos números a la potencia n, an +bn se descompone en dos factores (siempre que n sea un número impar):
Quedando de la siguiente manera:
Ejemplo:
La diferencia también es factorizable y en este caso no importa si n es par o impar. Quedando de la siguiente manera:
Ejemplo:
Las diferencias, ya sea de cuadrados o de cubos salen de un caso particular de esta generalización.
Caso VIII - Trinomio de la forma ax2 + bx + c
En este caso se tienen 3 términos: El primer término tiene un coeficiente distinto de uno, la letra del segundo término tiene la mitad del exponente del término anterior y el tercer término es un término independiente, o sea sin una parte literal, así:
Para factorizar una expresión de esta forma, se multiplica la expresión por el coeficiente del primer término(4x2) :
Luego debemos encontrar dos números que multiplicados entre sí den como resultado el término independiente y que su suma sea igual al coeficiente del término x :
Después procedemos a colocar de forma completa el término x2 sin ser elevado al cuadrado en paréntesis, además colocamos los 2 términos descubiertos anteriormente :
Para terminar dividimos estos términos por el coeficiente del término x2 :
:
Queda así terminada la factorización :
:
http://www.youtube.com/watch?v=MzFEQ_SmitA
Laura Vanessa Gomes Camacho
Trinomio Cuadrado Perfecto Por Adición Y Sustracción
Teoría
Existen algunos trinomios, en los cuales su primer y tercer
Términos son cuadrados perfectos (tienen raíz cuadrada
Exacta), pero su segundo términos no es el doble producto de sus raíces cuadradas.
Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción, se completan cuadrados y se factoriza la
Expresión, primero como un trinomio cuadrado perfecto y
Después, como una diferencia de cuadrados.
Para que un trinomio de estos se convierta en un trinomio
Cuadrado perfecto, se debe sumar y restar un mismo
Número (semejante al segundo término) para que el
Segundo término sea el doble producto de las raíces
Cuadradas del primer y último término. A este proceso
se le denomina completar cuadrados.
Para que m4 + 6m2 + 25, sea un trinomio cuadrado perfecto, el segundo término debe ser igual a 10m2. Por esto, se le debe sumar y restar al trinomio es 4m2 , pues 6m2 + 4m2 = 10m2
x4 + 3x2 + 4
Raíz cuadrada de x4 es x2
Raíz cuadrada de 4 es 2
Doble producto de la primera raíz por la segunda: 2(x2 )(2)
= 4x2
El trinomio x4 + 3x2 + 4 no es trinomio cuadrado perfecto, entonces:
x4 + 3x2 + 4
= x4 + 3x2 + 4
+ x2 - x2 Se suma y se resta x2
----------------------------------------
=(x4 + 4x2 + 4) - x2 Se asocia convenientemente
=(x2 + 2)2 - x2 Se factoriza el trinomio cuadrado
perfecto
=[(x2 + 2) - x] [(x2 + 2) - x] Se factoriza la diferencia de
cuadrados
=(x2 + 2 + x) (x2 + 2 - x) Se eliminan signos de agrupación
=(x2 + x+ 2) (x2 - x + 2) Se ordenan los términos de cada
factor.
Entonces: x4 + 3x2 + 4 = (x2 - x+ 2) (x2 - x + 2)
Ejemplos
1° x^4 + x²y² + y^4
2° (a+b)²= a² + 2ab + b² = (a+b)(a+b)
Adición: (a+b)²= a² + 2ab + b² = (a+b)(a+b)
Sustracción: (a-b)²= a² - 2ab + b² = (a-b)(a-b)
) 4x⁸ - 16x³y² + 9y⁴ =
4x⁸ - 12x⁴y² + 9y⁴ - 4x⁴y² =
(2x⁴ - 3y²)² - 4x⁴y² =
(2x⁴ - 3y² - 2x²y)(2x⁴ - 3y² + 2x²y)
Video
http://youtu.be/gzRQVcukxlw
Gracias Por Su Colaboración
MARIA FERNANDA MONTOYA BENITEZ 8"C
CASO V TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICION Y SUSTRACION
Existen algunos trinomios, en los cuales su primer y tercer
Términos son cuadrados perfectos (tienen raíz cuadrada
Exacta), pero su segundo términos no es el doble producto de sus raíces cuadradas.
x2 + 2x + 9, no es un trinomio cuadrado perfecto.
Para que un trinomio de estos se convierta en un trinomio
Cuadrado perfecto, se debe sumar y restar un mismo
Número (semejante al segundo término) para que el
Segundo término sea el doble producto de las raíces
Cuadradas del primer y último término. A este proceso
Se le denomina completar cuadrados.
Ejemplo: m4 + 6m2 + 25.
Para que m4 + 6m2 + 25, sea un trinomio cuadrado perfecto, el segundo término debe ser igual a 10m2. Por esto, se le debe sumar y restar al trinomio es 4m2 , pues 6m2 + 4m2 = 10m2
Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción, se completan cuadrados y se factoriza la
Expresión, primero como un trinomio cuadrado perfecto y
Después, como una diferencia de cuadrados.
http://www.youtube.com/watch?v=GiVYv-IsMaI
• Caso 3 trinomio cuadrado perfecto
Antes que todo, hay que decir que todo polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran los números complejos. Existen métodos de factorización, para algunos casos especiales.
• Binomios
1. Diferencia de cuadrados
2. Suma o diferencia de cubos
3. Suma o diferencia de potencias impares iguales
• Trinomios
1. Trinomio cuadrado perfecto
1. Trinomio de la forma x²+bx+c
2. Trinomio de la forma ax²+bx+
3. ²+bx+c
4. Trinomio de la forma ax²+bx+c
• Polinomios
1. Factor común
2. Triángulo de Pascal como guía para factorizar
3. Caso I - Factor común
4. Sacar el factor común es añadir el literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes. Tambien se puede describir como buscar el factor comun entre los factores
5.
6.
7. Factor común trinomio
8. Factor común por agrupación de términos
9.
10. y si solo si el polinomio es 0 y el tetranomio nos da x.
11. Factor común polinomio
12. Primero hay que determinar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con un término, sino con dos.
13. un ejemplo:
14.
15. Se aprecia claramente que se está repitiendo el polinomio (x-y), entonces ese será el factor común. El otro factor será simplemente lo que queda del polinomio original, es decir:
16.
17. La respuesta es:
18.
19. En algunos casos se debe utilizar el número 1, por ejemplo:
20.
21. Se puede utilizar como:
22.
23. Entonces la respuesta es:
24.
25. Caso II - Factor común por agrupación de términos
26. Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos.
27. Un ejemplo numérico puede ser:
28. Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos.
29. Un ejemplo numérico puede ser:
30.
31. entonces puedes agruparlos de la siguiente manera:
32.
33. Aplicamos el caso I (Factor común)
:
http://youtu.be/qNQcUWqdUgo
luisa Fernanda valencia garcia 8c
CASO IV DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS
CASO IV DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS
REGLA PARA FACTORIZAR UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS
Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo.
Se multiplica la suma de estas raíces cuadradas por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del
sustraendo
Ejemplo:
Factorizar 1 – a^2
1 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 1.
a2 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es “a”.
Multiplica la suma de las raíces, (1 + a) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del
sustraendo (1 - a)
1 – a^2 = (1 + a) (1 - a)
Ejemplo 2:
Factorizar
16x^2 – 25y^4
16 x^2 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 4 x.
25 y^4 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 5 y^2.
Multiplica la suma de las raíces, (4x + 5y^2) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del
sustraendo (4 x – 5 y^2)
16x^2 – 25y^4 = (4x + 5y^2) (4 x – 5 y^2)
Ejemplo 3:
Factorizar 49 x^2 y^6 z^10 – a^12
49 x^2 y^6 z^10 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 7 x y^3 z^5
a^12 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es a^6.
Multiplica la suma de las raíces, (7 x y^3 z^5 + a^6) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del
sustraendo (7 x y^3 z^5 – a^6)
49 x^2 y^6 z^10 – a^12 = (7 x y^3 z^5 + a^6) (7 x y^3 z^5 – a^6)
http://youtu.be/Rimog_ce4c
Ingrid valentina Arévalo
https://www.youtube.com/watch?v=PgJyTFoNCI8
Expresiones como x2 + 5x +6, a4 + 3a2 - 10, son trinomios de la forma x2 + bx + c.
Los trinomios de esta forma tienen las siguientes características:
1. El coeficiente del primer término es 1.
2. La variable del segundo término es la misma que la del
primer término pero con exponente a la mitad.
3. El tercer término es independiente de la letra que
aparece en el primer y segundo términos del trinomio.
Para factorizar un trinomio de la forma x2 + bx + c, se buscan dos números m y n, tales que,
x2 + bx + c = (x + m)(x + n); donde m + n = b y m.n = c
http://youtu.be/PgJyTFoNCI8
Dos ejemplos ejemplos adicionales de cómo factorizar un trinomio de la forma ax2n+bxn+c mediante el uso de tanteo. En el primer ejemplo el trinomio tiene un factor común el cual obliga a una primera factorización y en el segundo ejemplo ni b ni c son coeficientes numéricos.
En este video veremos ejemplos de cómo factorizar un trinomio de la forma a(x^2n)+bx^n+c aplicando el procedimiento descrito en los videos anteriores.
El primer problema planteado en el video es: Factorizar la siguiente expresión: 6x^2-10x-4, para resolver este problema lo primero que debemos hacer es buscar si el trinomio tiene algún factor común a los tres términos del trinomio, como vemos este trinomio posee como factor común el número 2, la expresión queda entonces de la siguiente manera: 2(3x^2-5x-2), luego, como notamos que la raíz del primer término no es exacta, debemos proceder a multiplicar a todos los términos del trinomio por el factor que acompaña a x^2, en este caso por 3, el trinomio entonces adquiere la siguiente forma: 2[3(3x^2-5x-2)]/3, como vemos debemos dividir también por 3 para que no se vea afectado el trinomio, luego lo que debemos hacer es dejar indicado el producto del primer y segundo término y efectuar la multiplicación por el tercer término, es decir: 2[(3x)^2-5(3x)-6]/3, hecho esto, factorizamos por tanteo aplicando el procedimiento descrito para trinomios de la forma x^2n+bx^n+c, vemos que el trinomio queda factorizado entonces de la siguiente manera: 2[(3x^2-5(3x)-6)]/3=2[(3x-6)(3x-1)]/3, miremos que el primer paréntesis tiene a su vez como factor común al número 3, es decir: 2[(3x^2-5(3x)-6)]/3=2[3(x-2)(3x-1)]/3, se puede apreciar que este número se cancela con el 3 del denominador, con lo que la factorización queda finalmente como: 2[(3x^2-5(3x)-6)]/3=2[(x-2)(3x-1)].
http://youtu.be/Mqt8CEmBseM
- El primer término tiene un coeficiente mayor que 1 y tiene una letra cualquiera elevada al cuadrado.
- El segundo término tiene la misma letra que el primero pero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera positiva o negativa.
- El tercer término es una cantidad cualquiera positiva o negativa sin ninguna letra en común con el 1° y 2° términos.
————————————————————————————–
Procedimiento para el trinomio de la forma ax^2 +bx +c:
-Antes de descomponer el trinomio en dos factores binomios,
se procede así: como ejemplo: 6x^2 -7x -3
1°) Se multiplica el coeficiente del primer término ” 6 ” por todo el trinomio, dejando el producto del 2° término indicado:
6(6x^2 -7x +3) = 36x^2 -6(7x) -18